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Métodos da Matemática Aplicada IProblemas de Sturm–Liouville e EDPsFelipe Costa Amaral – RA: 249239Gabriel Zaramela Venancio – RA: 238208Vinícius Rodrigues de Oliveira – RA: 200864SumárioExercício 1-)Corda Vibrante com Condições Mistas ................................................... ⁠1a-)Interpretação física .............................................................................. ⁠2b-)Modos normais e autovalores ................................................................... ⁠2c-)Solução geral .................................................................................... ⁠3d-)Coeficientes da série ............................................................................ ⁠3e-)Gráficos .......................................................................................... ⁠4Exercício 2-)Evolução térmica em um cilindro metálico ............................................... ⁠6a-)Equação do Calor com Simetria Axial .......................................................... ⁠6b-)Condições de Contorno: ........................................................................ ⁠6c-)Separação de Variáveis: ......................................................................... ⁠6d-)Termos da Série de Fourrier: .................................................................... ⁠7e-)Simplificações e Gráficos: ....................................................................... ⁠8Exercício 3-)Vibração de uma membrana circular (tambor) .......................................... ⁠10a-)Forma da solução esperada .................................................................... ⁠10b-)Autovalor associado ........................................................................... ⁠11c-)Seleção de modos .............................................................................. ⁠12d-)Coeficientes 𝐴3𝑚 .............................................................................. ⁠12e-)Gráficos ......................................................................................... ⁠13Exercício 4-)Difusão de calor em uma esfera com simetria radial .................................... ⁠14a-)Separação de Variáveis ......................................................................... ⁠14b-)Coeficientes 𝐴𝑛 ................................................................................ ⁠14c-)Gráficos ......................................................................................... ⁠15Exercício 1-)Corda Vibrante com Condições MistasA equação da onda unidimensional é𝜕2𝑢𝜕𝑡2=𝑐2𝜕2𝑢𝜕𝑥2,𝑥∈(0,𝐿),𝑡>0,com condições de contorno dadas por:𝑢(0,𝑡)=0,𝑢𝑥(𝐿,𝑡)=0,e condições iniciais descritas como:𝑢(𝑥,0)=𝑥,𝑢𝑡(𝑥,0)=0.a-)Interpretação física•𝑢(0,𝑡)=0 (Dirichlet): a extremidade em 𝑥=0 está fixa. Em termos físicos, é como se a cordaestivesse presa a uma parede ou a um suporte rígido nesse ponto.•𝑢𝑥(𝐿,𝑡)=0 (Neumann): a extremidade em 𝑥=𝐿 é livre para se mover, porém a inclinação dacorda é zero nesse ponto.b-)Modos normais e autovaloresFazendo a separação de variáveis 𝑢(𝑥,𝑡)=𝑋(𝑥)𝑇(𝑡), obtemos:𝑋(𝑥)𝑇″(𝑡)=𝑐2𝑋″(𝑥)𝑇(𝑡)Agora dividindo ambos os lados por 𝑐2𝑋(𝑥)𝑇(𝑡), temos:𝑇″(𝑡)𝑐2𝑇(𝑡)=𝑋″(𝑥)𝑋(𝑥)=−𝜆.Portanto, temos dois problemas de Sturm-Liouville separados:{𝑋″+𝜆𝑋=0𝑇″+𝑐2𝜆𝑇=0,𝑋(0)=0,𝑋′(𝐿)=0Resolvendo a equação espacial, obtemos os seguintes casos:•Caso 1: 𝜆=−𝜔2<0𝑋(𝑥)=𝐴𝑒𝜔𝑥+𝐵𝑒−𝜔𝑥⇒𝑋(𝑥)=𝐶cosh(𝜔𝑥)+𝐷sinh(𝜔𝑥)Aplicando as condições de contorno para 𝜆=−𝜔2<0:{𝑋(0)=𝐶cosh(0)+𝐷sinh(0)⇒𝐶=0𝑋′(𝐿)=𝐷𝜔cosh(𝜔𝐿)=0⇒𝐷=0Portanto, 𝜆=−𝜔2<0 não é um autovalor pois tem apenas uma solução trivial 𝑋(𝑥)=0. Logo,não existe autofunção para este caso.•Caso 2: 𝜆=0𝑋(𝑥)=𝐴+𝐵𝑥Aplicando as condições de contorno para 𝜆=0:{𝑋(0)=𝐴=0𝑋′(𝐿)=𝐵=0Portanto, 𝜆=0 não é um autovalor pois tem apenas uma solução trivial 𝑋(𝑥)=0. Logo, nãoexiste autofunção para este caso.•Caso 3: 𝜆=𝜔2>0𝑋(𝑥)=𝐴cos(𝜔𝑥)+𝐵sin(𝜔𝑥)Aplicando as condições de contorno para 𝜆=𝜔2>0:𝑋(0)=0⇒𝐴=0⇒𝑋(𝑥)=𝐵sin(𝜔𝑥)𝑋′(𝐿)=𝜔𝐵cos(𝜔𝐿)=0Se 𝐵=0 temos a solução trivial. Se 𝐵≠0 temoscos(𝜔𝐿)=0⇒𝜔=(2𝑛−1)𝜋2𝐿Portanto, os autovalores e modos normais do problema de Sturm-Liouville associado são:‣Autovalor:𝜆𝑛=𝜔2=((2𝑛−1)𝜋2𝐿)2,𝑛=1,2,3,…‣Autofunção:𝑋𝑛(𝑥)=sin((2𝑛−1)𝜋2𝐿𝑥),𝑛=1,2,3,…c-)Solução geralPortanto, a equação temporal será dada por:𝑇″𝑛+𝑐2((2𝑛−1)𝜋2𝐿)2𝑇𝑛=0Agora, supondo 𝑇𝑛(𝑡)=𝑒𝑟𝑡 e resolvendo a equação temporal, obtemos:𝑇𝑛(𝑡)=𝐴𝑛cos(𝑘𝑛𝑡)+𝐵𝑛sin(𝑘𝑛𝑡),𝑘𝑛=(2𝑛−1)𝜋𝑐2𝐿Então, a solução geral para 𝑢(𝑥,𝑡) é dada por:𝑢(𝑥,𝑡)=∑∞𝑛=1[𝐴𝑛cos(𝑘𝑛𝑡)+𝐵𝑛sin(𝑘𝑛𝑡)]sin((2𝑛−1)𝜋2𝐿𝑥),𝑘𝑛=(2𝑛−1)𝜋𝑐2𝐿d-)Coeficientes da sérieA condição inicial 𝜕𝑢𝜕𝑡(𝑥,0)=0 nos dá:𝜕𝑢𝜕𝑡(𝑥,0)=∑∞𝑛=1[−𝐴𝑛𝑘𝑛sin(0)+𝐵𝑛𝑘𝑛cos(0)]sin((2𝑛−1)𝜋2𝐿𝑥)=0⇒𝐵𝑛𝑘𝑛sin((2𝑛−1)𝜋2𝐿𝑥)=0Então, 𝐵𝑛=0. Portanto, a solução geral será:𝑢(𝑥,𝑡)=∑∞𝑛=1[𝐴𝑛cos(𝑘𝑛𝑡)sin((2𝑛−1)𝜋2𝐿𝑥)]Por outro lado, 𝑢(𝑥,0)=𝑥:𝑢(𝑥,0)=∑∞𝑛=1[𝐴𝑛cos(0)sin((2𝑛−1)𝜋2𝐿𝑥)]=∑∞𝑛=1[𝐴𝑛sin((2𝑛−1)𝜋2𝐿𝑥)]=𝑥Utilizando o truque de Fourier, obtemos:𝐴𝑛=⟨𝑢(𝑥,0),sin((2𝑛−1)𝜋𝑥2𝐿)⟩⟨sin((2𝑛−1)𝜋𝑥2𝐿),sin((2𝑛−1)𝜋𝑥2𝐿)⟩Assim,𝐴𝑛=∫𝐿0𝑥sin((2𝑛−1)𝜋𝑥2𝐿)𝑑𝑥∫𝐿0sin2((2𝑛−1)𝜋𝑥2𝐿)𝑑𝑥⇒𝐴𝑛=8𝐿(−1)𝑛+1(2𝑛−1)2𝜋2e-)GráficosExercício 2-)Evolução térmica em um cilindro metálicoa-)Equação do Calor com Simetria AxialDada a simetria axial, a função temperatura 𝑢=𝑢(𝑟,𝑧,𝑡) independe de 𝜃, e a equação do calor emcoordenadas cilíndricas assume a forma:𝜕𝑢𝜕𝑡=𝛼[1𝑟𝜕𝜕𝑟(𝑟𝜕𝑢𝜕𝑟)+𝜕2𝑢𝜕𝑧2],0<𝑟<𝑅,0<𝑧<𝐿,𝑡>0.b-)Condições de Contorno:As condições de contorno são:•𝑢(𝑅,𝑧,𝑡)=0 (superfície lateral do cilindro mantida a 0°C),•𝑢(𝑟,0,𝑡)=0 (base inferior),•𝑢(𝑟,𝐿,𝑡)=0 (topo do cilindro).c-)Separação de Variáveis:Assumimos solução da forma:𝑢(𝑟,𝑧,𝑡)=ℛ(𝑟)𝑍(𝑧)𝑇(𝑡).Substituindo na equação do calor:ℛ𝑍d𝑇d𝑡=𝛼[𝑍𝑇(1𝑟𝑑d𝑟(𝑟d𝑟d𝑟))+ℛ𝑇𝑑2𝑍d𝑧2].Dividindo ambos os lados por ℛ𝑍𝑇:1𝛼𝑇d𝑇d𝑡=1ℛ(1𝑟dd𝑟(𝑟d𝑟d𝑟))+1𝑍𝑑2𝑍d𝑧2=−𝜆.EDO da variável 𝑧:1𝑍𝑑2𝑍d𝑧2=−𝜇Utilizando o mesmo raciocínio da questão 1, vemos que para 𝜇<0 e 𝜇=0 obtemos apenas asolução trivial 𝑍(𝑧)=0. Por outro lado, se 𝜇=𝜔2>0, temos:𝑍(𝑧)=𝐴cos(𝜔𝑧)+𝐵sin(𝜔𝑧)Aplicando as condições de contorno 𝑍(0)=0 e 𝑍(𝐿)=0, obtemos:𝑍(0)=𝐴cos(0)+𝐵sin(0)=0⇒𝐴=0𝑍(𝐿)=𝐵sin(𝜔𝐿)=0Se 𝐵=0 temos a solução trivial. Se 𝐵≠0 temos𝜔=𝑚𝜋𝐿,𝑚=1,2,3,…Portanto, o autovalor e a autofunção para esse problema de Sturm-Liouville são:𝑍𝑚(𝑧)=sin(𝑚𝜋𝑧𝐿),𝜇𝑚=(𝑚𝜋𝐿)2EDO da variável 𝑟:1𝑟dd𝑟(𝑟d𝑟d𝑟)+(𝜆−𝜇𝑚)ℛ=0.Denotando 𝛾𝑚=√𝜆−𝜇𝑚, temos:1𝑟dd𝑟(𝑟d𝑟d𝑟)+𝛾2𝑚ℛ=0.Essa é a equação de Bessel de ordem zero. Portanto, a solução geral é dada por:ℛ(𝑟)=𝐶𝐽0(𝛾𝑚𝑟)+𝐷𝑌0(𝛾𝑚𝑟)Como queremos uma solução regular na origem (o interior do cilindro é físico), descartamos 𝑌0, poisela diverge em 𝑟=0, assim 𝐷=0. Ademais, aplicando a condição de contorno ℛ(𝑅)=0, vemosque 𝐶=0 resulta na solução trivial e 𝐶≠0 resulta em:𝐽0(𝛾𝑚𝑅)=0Isso implica que 𝛾𝑚𝑅 deve ser um zero da função de Bessel 𝐽0. Como os zeros da função de Besselsão enumeráveis, denotaremos esses zeros por 𝜌𝑛. Assim temos 𝜆𝑛𝑚 com𝜌𝑛=𝑅√𝜆𝑛𝑚−𝜇𝑚,𝑛,𝑚=1,2,3,…𝜆𝑛𝑚=(𝜌𝑛𝑅)2+𝜇𝑚,𝑛,𝑚=1,2,3,…Portanto, os modos normais são:ℛ𝑛(𝑟)=𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)EDO da variável 𝑡:𝑇′+𝛼𝜆𝑛𝑚𝑇=0Com solução:𝑇𝑛𝑚(𝑡)=exp(−𝛼𝜆𝑛𝑚𝑡)=exp[−𝛼((𝜌𝑛𝑅)2+(𝑚𝜋𝐿)2)𝑡]A solução geral da equação do calor é:𝑢(𝑟,𝑧,𝑡)=∑∞𝑛=1∑∞𝑚=1𝐴𝑛𝑚ℛ𝑛(𝑟)𝑍𝑚(𝑧)𝑇𝑛𝑚(𝑡)𝑢(𝑟,𝑧,𝑡)=∑∞𝑛=1∑∞𝑚=1𝐴𝑛𝑚exp[−𝛼((𝜌𝑛𝑅)2+(𝑚𝜋𝐿)2)𝑡]𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿)d-)Termos da Série de Fourrier:Dada a seguinte condição inicial:𝑢(𝑟,𝑧,0)=𝜅21(𝑅2−𝑟2)exp(−𝑟2𝜅22)sin(𝜋𝑧𝐿)Podemos utilizar o truque de Fourier, ou seja,𝐴𝑛𝑚=⟨𝑢(𝑟,𝑧,0),𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿)⟩⟨𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿),𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿)⟩Então, a fórmula dos coeficientes 𝐴𝑛𝑚 projetando a condição inicial sobre os modos próprios doproblema é:𝐴𝑛𝑚=∫𝐿0∫𝑅0𝑢(𝑟,𝑧,0)𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿)𝑟d𝑟d𝑧(∫𝐿0sin2(𝑚𝜋𝑧𝐿)d𝑧)(∫𝑅0𝐽20(𝜌𝑛𝑟𝑅)𝑟d𝑟)e-)Simplificações e Gráficos:Pelo Teorema de Fubini, como o integrando é separável, podemos reescrever a integral como umproduto de duas integrais simples.𝐴𝑛𝑚=(∫𝑅0𝜅21(𝑅2−𝑟2)exp(−𝑟2𝜅22)𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)𝑟d𝑟)·(∫𝐿0sin(𝜋𝑧𝐿)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿)d𝑧)(∫𝐿0sin2(𝑚𝜋𝑧𝐿)d𝑧)(∫𝑅0𝐽20(𝜌𝑛𝑟𝑅)𝑟d𝑟)O fator crucial é a integral na variável 𝑧.∫𝐿0sin(𝜋𝑧𝐿)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿)d𝑧As funções seno da forma sin(𝑘𝜋𝑧𝐿) são ortogonais no intervalo [0,𝐿]. Isso significa que a integral doproduto de duas dessas funções é zero, a menos que elas sejam idênticas.•Caso 1: 𝑚≠1As duas funções seno são diferentes. Devido à ortogonalidade, a integral é zero.•Caso 2: 𝑚=1As duas funções são idênticas, e a integral torna-se ∫𝐿0sin2(𝜋𝑧𝐿)d𝑧, cujo resultado é 𝐿2.Podemos resumir o resultado da integral da seguinte forma:∫𝐿0sin(𝜋𝑧𝐿)sin(𝑚𝜋𝑧𝐿)d𝑧={𝐿2, se𝑚=10, se𝑚≠1Logo,𝑢(𝑟,𝑧,𝑡)=sin(𝜋𝑧𝐿)exp(𝛼𝑡𝜋2𝐿2)·∑∞𝑛=1𝐴𝑛exp(−𝛼𝑡𝜌2𝑛𝑅2)𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)com𝐴𝑛=𝜅21·∫𝑅0(𝑅2−𝑟2)exp(−𝑟2𝜅22)𝐽0(𝜌𝑛𝑟𝑅)𝑟d𝑟∫𝑅0𝐽20(𝜌𝑛𝑟𝑅)𝑟d𝑟Exercício 3-)Vibração de uma membrana circular (tambor)A equação da onda bidimensional com simetria axial é𝜕2𝑢𝜕𝑡2=𝑐2(1𝑟𝜕𝜕𝑟(𝑟𝜕𝑢𝜕𝑟)+1𝑟2𝜕2𝑢𝜕𝜃2),0<𝑟<𝑅,0<𝜃<2𝜋,𝑡>0,com condições de contorno dadas por𝑢(𝑅,𝜃,𝑡)=0e condições iniciais descritas como𝑢(𝑟,𝜃,0)=(1−𝑟2𝜅2)cos(3𝜃),𝜕𝑢𝜕𝑡|𝑡=0=0a-)Forma da solução esperadaFazendo a separação de variáveis 𝑢(𝑟,𝜃,𝑡)=ℛ(𝑟)Θ(𝜃)𝑇(𝑡), obtemos:ℛ(𝑟)Θ(𝜃)𝑇″(𝑡)=𝑐2Θ(𝜃)𝑇(𝑡)𝑟(𝑟𝑅′(𝑟))′+ℛ(𝑟)𝑇(𝑡)Θ″(𝜃)𝑟2Dividindo ambos os lados por ℛ(𝑟)Θ(𝜃)𝑇(𝑡), obtemos:𝑇″(𝑡)𝑐2𝑇(𝑡)=(1𝑟ℛ(𝑟)(𝑟𝑅′(𝑟))′+1𝑟2Θ″(𝜃)Θ(𝜃))=−𝜔2•Análise do termo temporalA parte temporal é dada por:𝑇″(𝑡)+𝜔2𝑇(𝑡)=0cuja solução é da forma:𝑇(𝑡)=𝐴cos(𝜔𝑡)+𝐵sin(𝜔𝑡)com 𝐴 e 𝐵 constantes. Pela condição inicial 𝑇′(0)=0:𝑇′(0)=−𝐴𝜔sin(0)+𝐵𝜔cos(0)=𝐵𝜔=0⇒𝐵=0Portanto, a parte temporal da solução é 𝐴cos(𝜔𝑡).•Análise do termo angularDa equação separada, obtemos a parte angular:Θ″(𝜃)+𝑛2Θ(𝜃)=0com solução:Θ(𝜃)=𝐶cos(𝑛𝜃)+𝐷sin(𝑛𝜃)Como as condições iniciais nos dão um termo angular como cosseno, 𝐷=0, então:Θ(𝜃)=cos(𝑛𝜃)•Análise do termo radialIsolando o termo radial, temos:𝑟2𝑅″(𝑟)+𝑟𝑅′(𝑟)+(𝜔2𝑟2−𝑛2)ℛ(𝑟)=0que é uma equação de Bessel com solução:ℛ(𝑟)=𝐸𝐽𝑛(𝜔𝑟)+𝐹𝑌𝑛(𝜔𝑟)Como 𝑌𝑛 diverge em 𝑟=0, temos 𝐹=0, logo:ℛ(𝑟)=𝐸𝐽𝑛(𝜔𝑟)A condição de contorno 𝑢(𝑅,𝜃,𝑡)=0 implica:𝐽𝑛(𝜔𝑅)=0⇒𝜔𝑅=𝜆𝑛𝑚⇒𝜔=𝜆𝑛𝑚𝑅Portanto, a solução radial é:ℛ(𝑟)=𝐽𝑛(𝜆𝑛𝑚𝑟𝑅)A equação da onda é linear, então a solução geral é a superposição de todas as soluções:𝑢(𝑟,𝜃,𝑡)=∑𝑛,𝑚𝐴𝑛𝑚𝐽𝑛(𝜆𝑛𝑚𝑟𝑅)cos(𝑛𝜃)cos(𝑐𝜆𝑛𝑚𝑡𝑅)b-)Autovalor associadoO problema de autovalor associado ao operador de Laplace ∇2 em coordenadas polares comcondição de contorno de Dirichlet consiste em encontrar os valores constantes 𝜆 (autovalores) e asfunções não-nulas 𝑤(𝑟,𝜃) (autofunções) que satisfazem a equação:∇2𝑤(𝑟,𝜃)=−𝜆𝑤(𝑟,𝜃)no domínio de uma membrana circular de raio 𝑅 (0<𝑟<𝑅), sujeito às seguintes condições:•Condição de Contorno de Dirichlet: 𝑤(𝑅,𝜃)=0.•Condições Físicas: A solução 𝑤(𝑟,𝜃) deve ser finita na origem (𝑟=0) e periódica em 𝜃.A determinação dos autovalores 𝜆 baseia-se diretamente na análise da parte radial ℛ(𝑟) realizada noitem (a). Naquela análise, a separação de variáveis e a aplicação das condições de contorno levaram àconclusão de que a frequência espacial, denotada por 𝜔, é quantizada.A aplicação da condição de borda fixa ℛ(𝑟)=0 à solução radial ℛ(𝑟)=𝐸𝐽𝑛(𝜔𝑟) resultou em𝐽𝑛(𝜔𝑅)=0.Esta condição implica que o argumento 𝜔𝑅 deve ser um dos zeros da função de Bessel 𝐽𝑛.Representando o m-ésimo zero de 𝐽𝑛 por 𝜆𝑛𝑚, temos:𝜔𝑅=𝜆𝑛𝑚⇒𝜔=𝜆𝑛𝑚𝑅Para encontrar o autovalor 𝜆 do operador Laplaciano, relembramos a relação estabelecida durante aseparação de variáveis no item (a), onde a constante de separação espacial foi definida como −𝜔2:1𝑟ℛ(𝑟)(𝑟𝑅′(𝑟))′+1𝑟2Θ″(𝜃)Θ(𝜃)=∇2𝑤𝑤=−𝜔2Comparando com a definição do problema de autovalor, ∇2𝑤=−𝜆𝑤, vemos diretamente que𝜆=𝜔2.Substituindo o valor quantizado de 𝜔 que encontramos, obtemos a fórmula explícita para osautovalores:𝜆=(𝜆𝑛𝑚𝑅)2.c-)Seleção de modosQueremos mostrar que a condição inicial implica que apenas os termos com cos(3𝜃) são não nulos.Avaliando 𝑢(𝑟,𝜃,𝑡) em 𝑡=0:𝑢(𝑟,𝜃,0)=∑∞𝑛=0∑∞𝑚=1𝐴𝑛𝑚𝐽𝑛(𝜆𝑛𝑚𝑟𝑅)cos(𝑛𝜃)A condição inicial é:𝑢(𝑟,𝜃,0)=(1−𝑟2𝜅2)cos(3𝜃)Igualando as duas expressões, temos:(1−𝑟2𝜅2)cos(3𝜃)=∑∞𝑛=0𝐹𝑛(𝑟)cos(𝑛𝜃)onde:𝐹𝑛(𝑟)=∑∞𝑚=1𝐴𝑛𝑚𝐽𝑛(𝜆𝑛𝑚𝑟𝑅)Multiplicando ambos os lados por cos(𝑘𝜃) e integrando de 0 a 2𝜋:Caso 1: 𝑘≠3A integral à esquerda é zero devido à ortogonalidade dos cossenos:0=𝐹𝑘(𝑟)∫2𝜋0cos2(𝑘𝜃)𝑑𝜃⇒𝐹𝑘(𝑟)=0Isso implica que 𝐴𝑘𝑚=0 para todo 𝑘≠3.Caso 2: 𝑘=3A integral à esquerda resulta em:𝜋(1−𝑟2𝜅2)=𝜋𝐹3(𝑟)⇒𝐹3(𝑟)=1−𝑟2𝜅2Logo, os únicos termos não-nulos são aqueles com 𝑛=3.d-)Coeficientes 𝐴3𝑚A relação para 𝑛=3 é:1−𝑟2𝜅2=∑∞𝑚=1𝐴3𝑚𝐽3(𝜆3𝑚𝑟𝑅)Para encontrar os coeficientes 𝐴3𝑚, usamos a ortogonalidade das funções de Bessel. Projetamos aequação na base 𝐽3(𝜆3𝑘𝑟𝑅) com um peso 𝑟:𝐴3𝑘=∫𝑅0(1−𝑟2𝜅2)𝐽3(𝜆3𝑘𝑟𝑅)𝑟𝑑𝑟∫𝑅0𝐽23(𝜆3𝑘𝑟𝑅)𝑟𝑑𝑟.e-)GráficosExercício 4-)Difusão de calor em uma esfera com simetria radiala-)Separação de VariáveisDada a equação do calor esfericamente simétrica:𝜕𝑢𝜕𝑡=𝛼1𝑟2𝜕𝜕𝑟(𝑟2𝜕𝑢𝜕𝑟)Fazendo a separação de variáveis 𝑢(𝑟,𝑡)=ℛ(𝑟)𝑇(𝑡), obtemos:ℛ(𝑟)d𝑇d𝑡=𝛼𝑇(𝑡)1𝑟2dd𝑟(𝑟2dℛd𝑟)Dividindo ambos os lados por 𝛼ℛ𝑇, obtemos:1𝛼𝑇(𝑡)d𝑇d𝑡=1ℛ(𝑟)𝑟2dd𝑟(𝑟2dℛd𝑟)=−𝜆Portanto, separamos em dois problemas de Sturm-Liouville:dd𝑟(𝑟2dℛd𝑟)+𝜆𝑟2ℛ=0⇒𝑟2ℛ″+2𝑟ℛ′+𝜆𝑟2ℛ=0Essa a equação de Bessel Esférica de ordem 0. A solução geral para essa equação é dada por:ℛ(𝑟)=𝐴sin(𝑘𝑟)𝑟+𝐵cos(𝑘𝑟)𝑟,𝜆=𝑘2Como queremos uma solução regular na origem, descartamos cos(𝑘𝑟)𝑟, pois ela diverge em 𝑟=0,assim B=0. Ademais, aplicando as condições de contorno ℛ(𝑅)=0, vemos que 𝐴=0 resulta nasolução trivial e 𝐴≠0 resulta em:ℛ(𝑅)=𝐴sin(𝑘𝑅)𝑅=0⇒sin(𝑘𝑅)=0⇒𝑘𝑛=𝑛𝜋𝑅,𝑛=1,2,3,…Assim, a autofunção associada ao autovalor é:ℛ𝑛(𝑟)=sin(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑟,𝑛=1,2,3,…Por outro lado, o segundo problema de autovalor é:d𝑇d𝑡+𝛼𝜆𝑇=0⇒𝑇𝑛(𝑡)=𝑒−𝛼𝜆𝑛𝑡=𝑒−𝛼(𝑛𝜋𝑅)2𝑡Portanto, a solução geral é dada por:𝑢(𝑟,𝑡)=∑∞𝑛=1𝐴𝑛ℛ𝑛(𝑟)𝑇𝑛(𝑡)𝑢(𝑟,𝑡)=∑∞𝑛=1[𝐴𝑛sin(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑟𝑒−𝛼(𝑛𝜋𝑅)2𝑡,]b-)Coeficientes 𝐴𝑛Dada a seguinte condição inicial:𝑢(𝑟,0)=𝜅2𝑟(𝑅−𝑟)A solução geral se torna:𝑢(𝑟,0)=∑∞𝑛=1[𝐴𝑛sin(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑟]=𝜅2𝑟(𝑅−𝑟)Portanto, pelo truque de Fourier, obtemos:𝐴𝑛=⟨𝑢(𝑟,0),sin(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑟⟩⟨sin(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑟,sin(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑟⟩Sabendo que a função peso para esse problema de Sturm-Liouville é 𝜔(𝑟)=𝑟2, podemos utilizar otruque de Fourier para determinar os coeficientes de 𝐴𝑛. Portanto,𝐴𝑛=𝜅2∫𝑅0𝑟2(𝑅−𝑟)sin(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑑𝑟∫𝑅0sin2(𝑛𝜋𝑟𝑅)𝑑𝑟c-)Gráficos